Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.1.

Предел. Непрерывность функции.


3.1.11. Точки разрыва функции и их классификация

 

Если рассмотреть график функции  в окрестности точки x = 0 

то ясно видно, что он как бы “разрывается” на отдельные кривые. Аналогично можно рассмотреть функцию, изображенную на рисунке  в окрестности точки 2. 

Говорят, что во всех указанных точках соответствующие функции становятся разрывными.

Точка x0  называется точкой разрыва функции y = f(x), если она принадлежит области определения функции или её границе и не является точкой непрерывности.

В этом случае говорят, что при x= x0 функция разрывная. Это может произойти, если в точке x0 функция не определена или не существует предел , или если предел существует, но .

Примеры.

1. Рассмотрим функцию:

Эта функция определена во всех точках отрезка [0, 4] и её значение при x = 3 равно 0. Однако, в точке x = 3 функция имеет разрыв, т.к. она не имеет предела при x = 3:

Следует отметить, что f(x) непрерывна во всех остальных точках отрезка [0, 4]. При этом в точке x = 0 она непрерывна справа, а в точке x = 4 – слева, т.к.

2. Функция разрывна при x = 0. Действительно:

Точки разрыва функции можно разбить на два типа.

Точка разрыва x0 функции f(x) называется точкой разрыва первого рода, если существуют оба односторонних конечных предела , но они не равны между собой или не равны значению функции в точке x0, т.е. f(x0). Точка разрыва, не являющаяся точкой разрыва первого рода, называется точкой разрыва второго рода.

В первом примере точка х=3 является точкой разрыва первого рода. В примере 2 все точка разрыва x = 0 являются точкой разрыва второго рода.

Top of page


Home page Home page