Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.1.

Предел. Непрерывность функции.


3.1.2. Предел числовой последовательности

В дальнейшем курсе математики понятие предела будет играть фундаментальную роль, так как с ним непосредственно связаны основные понятия математического анализа – производная, интеграл и др.

Начнем с понятия предела числовой последовательности.

Число a называется пределом последовательности x = {xn}, если для произвольного заранее заданного сколь угодно малого положительного числа ε найдется такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn - a| < ε.

Если число a есть предел последовательности x = {xn}, то говорят, что xn стремится к a, и пишут

Чтобы сформулировать это определение в геометрических терминах введем следующее понятие.

Окрестностью точки x0 называется произвольный интервал (a, b), содержащий эту точку внутри себя. Часто рассматривается окрестность точки x0, для которой x0 является серединой, тогда x0 называется центром окрестности, а величина (ba)/2 – радиусом окрестности.

Итак, выясним, что же означает геометрически понятие предела числовой последовательности. Для этого запишем последнее неравенство из определения в виде

Это неравенство означает, что все элементы последовательности с номерами n>N должны лежать в интервале (a – ; a + ).

Следовательно, постоянное число a есть предел числовой последовательности {xn}, если для любой малой окрестности с центром в точке a радиуса ( – окрестности точки a) найдется такой элемент последовательности с номером N, что все последующие элементы с номерами n > N будут находиться внутри этой окрестности.

Пример

Пример

Пусть переменная величина x последовательно принимает значения

Докажем, что предел этой числовой последовательности равен 1. Возьмем произвольное положительное число Нам нужно найти такое натуральное число N, что при всех n > N выполняется неравенство |xn - 1| < . Действительно, т.к.

то для выполнения соотношения |xn - a| <  достаточно, чтобы  или  . Поэтому, взяв в качестве N любое натуральное число, удовлетворяющее неравенству , получим что нужно. Так если взять, например, , то, положив N = 6, для всех n > 6 будем иметь .

Сделаем несколько замечаний.

Замечание 1.  Очевидно, что если все элементы числовой последовательности принимают одно и то же постоянное значение xn = c, то предел этой последовательности будет равен самой постоянной. Действительно, при любом всегда выполняется неравенство |xn - c| = |c - c| = 0 < .

Замечание 2.  Из определения предела следует, что последовательность не может иметь двух пределов. Действительно, предположим, что   и одновременно . Возьмем любое и отметим окрестности точек a и b радиуса (см. рис.). Тогда по определению предела, все элементы последовательности, начиная с некоторого, должны находиться как в окрестности точки а, так и в окрестности точки b, что невозможно.

Замечание 3.  Не следует думать, что каждая числовая последовательность имеет предел. Пусть, например, переменная величина принимает значения . Несложно заметить, что эта последовательность не стремится ни к какому пределу.



Top of page

Home page Home page