Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.1.

Предел. Непрерывность функции.


3.1.9. Сравнение бесконечно малых функций


Пусть при функции f(x) и g(x) являются бесконечно малыми. Тогда будем пользоваться следующими определениями.

  1. Если  , то f(x) называется бесконечно малой высшего порядка, чем g(x) (относительно g(x)).
  2. Если  , то функции f(x) и g(x) называются бесконечно малыми одного порядка.
  3. Если  , то f(x) называется бесконечно малой k-го порядка относительно g(x).

Если  , то функции f(x) и g(x) называются эквивалентными бесконечно малыми. В этом случае обе функции стремятся к нулю примерно с одинаковой скоростью. Эквивалентные бесконечно малые будем обозначать

 

Пример

Примеры

1. Пусть f(x)=x2,g(x)=5x. Функции являются бесконечно малыми при . Найдем 

Следовательно, f(x) – бесконечно малая высшего порядка относительно g(x).

2. Пусть f(x)=x2–4,g(x)=x2–5x+6 – бесконечно малые при .

 

Поэтому f(x) и g(x) одного порядка.

3. f(x)=tg2x, g(x) = 2x – бесконечно малые при .

Следовательно, f(x) и g(x) эквивалентны.

4. - бесконечно малые при .

 – этот предел не существует. Поэтому говорят, что функции f и g не сравнимы.

 

При вычислении пределов полезно помнить о следующем свойстве эквивалентных бесконечно малых функций.

Теорема. Пусть f и g – бесконечно малые функции при . Если и , то , т.е. если отношение двух бесконечно малых имеет предел, то этот предел не изменится, если каждую из бесконечно малых заменить эквивалентной бесконечно малой.

Доказательство. Имеем . Тогда

что и требовалось доказать.

Следующие бесконечно малые функции эквивалентны при :

Пример

Примеры

1.

2.

 

Top of page

Home page Home page