Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Home page Home page Лекция 3.2.

Производная и дифференциал


3.2.2. Механический и геометрический смысл производной

 

Механический смысл производной

Из физики известно, что закон равномерного движения имеет вид s = v·t, где s – путь, пройденный к моменту времени t, v – скорость равномерного движения.

Однако, т.к. большинство движений происходящих в природе, неравномерно, то в общем случае скорость, а, следовательно, и расстояние s будет зависеть от времени t, т.е. будет функцией времени.

Итак, пусть материальная точка движется по прямой в одном направлении по закону s = s(t).

Отметим некоторый момент времени t0. К этому моменту точка прошла путь s=s(t0). Определим скорость v материальной точки в момент времени t0.

Для этого рассмотрим какой-нибудь другой момент времени t0+t. Ему соответствует пройденный путь s=s(t0+t). Тогда за промежуток времени t точка прошла путь Δs=s(t0+t) s(t).

Рассмотрим отношение . Оно называется средней скоростью в промежутке времени t. Средняя скорость не может точно охарактеризовать быстроту перемещения точки в момент t0 (т.к. движение неравномерно). Для того, чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, нужно взять меньший промежуток времени t.

Итак, скоростью движения в данный момент времени t0 (мгновенной скоростью) называется предел средней скорости в промежутке от t0 до t0+t, когда t стремится к нулю:

т.е. скорость неравномерного движения это производная от пройденного пути по времени.

Геометрический смысл производной

Введем сначала определение касательной к кривой в данной точке.

Пусть имеем кривую и на ней фиксированную точку М0 (см. рисунок). 

Рассмотрим другую точку М этой кривой и проведем секущую M0M. Если точка М начинает перемещаться по кривой, а точка М0 остается неподвижной, то секущая меняет свое положение. Если при неограниченном приближении точки М по кривой к точке М0 с любой стороны секущая стремится занять положение определенной прямой М0Т, то прямая М0Т называется касательной к кривой в данной точке М0.

Т.о., касательной к кривой в данной точке М0 называется предельное положение секущей М0М, когда точка М стремится вдоль кривой к точке М0.

Рассмотрим теперь непрерывную функцию y = f(x) и соответствующую этой функции кривую. При некотором значении х0 функция принимает значение y0= f(x0). Этим значениям x0 и y0 на кривой соответствует точка М0 (x0; y0). Дадим аргументу x0 приращение х. Новому значению аргумента соответствует наращенное значение функции y0+y=f(x0 -x). Получаем точку М(x0+x; y0+y). Проведем секущую М0М и обозначим через угол, образованный секущей с положительным направлением оси Ox. Составим отношение  и заметим, что .

Если теперь , то в силу непрерывности функции , и поэтому точка М, перемещаясь по кривой, неограниченно приближается к точке М0. Тогда секущая М0М будет стремиться занять положение касательной к кривой в точке М0, а угол при , где через обозначили угол между касательной и положительным направлением оси Ox. Поскольку функция tg  непрерывно зависит от при то при и, следовательно, угловой коэффициент касательной будет:

т.е. f '(x) = tg .

Т.о., геометрически у '(x0) представляет угловой коэффициент касательной к графику этой функции в точке x0, т.е. при данном значении аргумента x, производная равна тангенсу угла, образованного касательной к графику функции f(x) в соответствующей точке М0 (x; y) с положительным направлением оси Ox.


Top of page

Home page Home page