Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература
Лекция 5.2.

Приложения определённого интеграла.

5.2.3. Вычисление объемов тел вращения

Пусть L есть кривая y = f(x), . Вычислим объем тела вращения, ограниченного плоскостями x = a и x = b и поверхностью вращения кривой L вокруг OX. (Рис.1)


Производим разбиение отрезка [a, b] на части

Считаем, что элемент объема тела ограниченного плоскостями x = xi и x = xi+1 приближенно равен объему цилиндра высоты , радиуса yi = f(xi ).
То есть .
Величина приближенно выражает V. При переходе к пределу получим формулу объема тела вращения:
(1)

Аналогично можно получить формулу объема тела вращения вокруг оси OY.
(2)

Пример:

Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси Oy фигуры Ф, лежащей в плоскости Oxy и ограниченной линиями y2 = 4 - x, x = 0 


Очевидно, что: .

Задачи для самостоятельного решения.