Лекция 11.1.

Числовые ряды

11.1.1.    Введение.

Решение многих задач сводится к вычислению значений функций и интегралов или к решению дифференциальных уравнений, содержащих производные или дифференциалы неизвестных функций. Однако точное выполнение указанных математических операций во многих случаях оказывается  весьма затруднительным или невозможным. В таких случаях можно получить приближенное  решение многих задач с любой желаемой точностью при помощи рядов.

Ряды представляют  простой и достаточно совершенный инструмент математического анализа для приближенного  вычисления значений функций, интегралов и решения дифференциальных уравнений. Теория рядов получила первоначальное развитие в 17 и 18 веках. Однако в те времена отсутствовали точные определения основных понятий математического анализа. С рядами обращались как с обычными суммами, и это часто приводило к неверным результатам, которые не могли быть объяснены при том уровне науки. Отсюда становится ясной причина того, что в 19 веке крупнейшие математики обратили свое внимание на теорию рядов, и эта область науки получила свое дальнейшее развитие и совершенствование. 

Особо следует отметить работы знаменитого русского математика Пафнутия Львовича Чебышева (1821-1894 гг.), который изучил методы приближенного представления функций рядами. Эти идеи возникли у Чебышева в связи с его исследованиями в области теории механизмов. Работы Чебышева по теории приближений функций были с успехом продолжены профессором Б.И. Золотаревым и другими. Велики заслуги наших русских ученых и в области тригонометрических рядов. Замечательная диссертация академика Н.Н Лузина по теории тригонометрических рядов вызвала появление большого количества блестящих работ московских математиков. Это работы академика А.Н. Колмогорова, профессора Д.Е. Меньшова и других.

Понятие о бесконечных рядах и их сходимости.  

Пусть задана бесконечная последовательность чисел ряда   U_i (i=1, 2, 3, ... , n,...).

Выражение вида

(1)

называется бесконечным числовым рядом или просто рядом.

Числа U₁, U₂, U₃ ,... называются членами ряда, U_n - общим членом ряда.

Обозначим сумму n первых членов ряда (1) через S_n, т.е.

S_n=U₁ + U₂ + U₃ +...+ U_n

Сумма S_n называется частичной суммой ряда. При изменении n меняется и S_n, при этом возможны два случая:

1.      величина S_n  при имеет предел, т.е.  

2.     величина S_n  при предела не имеет, или 

В первом случае ряд называется сходящимся, а число  - его суммой.   Во втором случае ряд называется расходящимся.

Ряд считается заданным, если указано, как вычислить любой член этого ряда, зная номер данного члена. Закон образования членов ряда выражается так называемой формулой общего члена ряда: U_n . Чтобы по заданному общему члену ряда написать ряд, надо в эту формулу  подставить последовательно значения n = 1,2,3, соответствующие номеру члена ряда.

Пример:

По заданному общему члену         записать ряд.

Решение:

Давая n последовательно значения 1,2,3,... получим:

т.е. имеем ряд                

Задачи для самостоятельного решения.