Рассмотрим линейное неоднородное уравнение второго порядка . Структура общего решения такого уравнения определяется следующей теоремой.

Теорема.

Общее решение линейного неоднородного уравнение представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. y = Y + y^* ,
где y - общее решение линейного неоднородного уравнения,
Y - общее решение линейного однородного уравнения и
y^* - частное решение рассматриваемого неоднородного уравнения.

Доказательство.

Докажем сначала, что функция y^* является решением рассматриваемого уравнения. Подставляя y = Y + y^* в исходное уравнение, получим: .
Так как Y есть решение однородного уравнения, то выражение, стоящее в первых скобках, равно нулю. Выражение, стоящее во вторых скобках, равно f(x) , т.к. y^* есть решение неоднородного уравнения.
Докажем теперь, что решение y = Y + y^* является общим решением рассматриваемого уравнения, т.е. докажем, что входящие в него произвольные постоянные можно подобрать так, чтобы удовлетворялись начальные условия: . Общее решение линейного однородного уравнения можно представить в форме , где и линейно независимые решения этого уравнения, а и произвольные постоянные.
Рассматриваемое решение можно записать в форме
.
Используя начальные условия, будем иметь:
.

Из этой системы уравнений нужно определить и .

Переписав систему в виде

замечаем, что определитель этой системы есть определитель Вронского для функций и в точке . Так как эти функции линейно независимы, то определитель Вронского не равен нулю. Следовательно, система имеет определенное решение и :

, .

При этих значениях и мы и получим частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решение

является общим решением рассматриваемого линейного неоднородного уравнения.

Таким образом, доказано, что решение неоднородного уравнения есть сумма y = Y + y^* .