Пусть дана однородная система

,

где - постоянные.

Будем искать частные решения системы в виде

,

где и k - неопределенные коэффициенты, которые следует найти.

Подставляя эти функции в систему, получим

Сокращая на e^kt придем к системе линейных однородных алгебраических уравнений относительно :

.

Чтобы эта система однородных уравнений имела ненулевые решения (только такие нас и интересуют), необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

.

Раскрывая этот определитель, получим уравнение третьей степени относительно k . Это уравнение называется характеристическим уравнением системы дифференциальных уравнений. Отыскав корни этого уравнения и поочередно подставляя их в исходную систему, определим коэффициенты . При этом одно из чисел может быть выбрано произвольно, т.к. одно из уравнений исходной системы дифференциальных уравнений является следствием двух остальных (в силу равенства нулю определителя этой системы) и система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными.

Таким образом, мы найдем три системы функций, каждая из которых является решением системы дифференциальных уравнений:

Указанные решения образуют фундаментальную систему и общее решение системы исходной системы дифференциальных уравнений запишется в виде:

Для получения более общего алгоритма решения однородной системы дифференциальных уравнений можно воспользоваться её матричным представлением

X^' = AX ,

где A - матрица коэффициентов {a_ij} , X = {x_j} - вектор неизвестных функций, X^' = {x^'_j} - вектор производных неизвестных функций.

Решение системы будет искаться в виде вектора с компонентами - неизвестными показательными функциями с постоянной k и неопределенными коэффициентами X = {r_j e^kt} = {r_j}e^kt. После дифференцирования X , подстановки X^' = ({r_j}e^kt)^' = k{r_j}e^kt в систему уравнений и сокращения на e^kt, исходная система примет вид AR = k R , где R = {r_j} .

В терминах векторной алгебры решение матричного уравнения

AR = k R

или однородной системы уравнений

( {a_ij} - k e_ij} ) r_ij = O ,

где {e_ij} элементы единичной матрицы E ,

может быть интерпретировано как нахождение (ненулевого) вектора R = {r_j} , такого, чтобы после умножения его на матрицу A он превратился бы в вектор, коллинеарный вектору R . Числа k , осуществляющие решение такой задачи, называются собственными значениями матрицы A , а векторы R - собственными векторами этой матрицы.

Нетривиальное решение однородной система уравнений

( {a_ij} - k {e_ij} ) r_ij = O

возможно, если определитель матрицы её коэффициентов равен нулю. Этот определитель назывется характеристическим определителем , а уравнение

| {a_ij} - k {e_ij} | = O

- характеристическим. Каждому из его корней k = k_i (i = 1,2,...,n) , называемых характеристическими числами, соответствует одно решение системы дифференциальных уравнений:

X = {r_j} e^k_it.

Линейная комбинация этих линейно независимых решений в случае, когда они все различны, (фундаментальная система решений) с произвольными коэффициентами С₁, С₂, С₃, ..., С_n образует общее решение системы.

Пример 1.

Найти общее решение системы
.
Система (5) в данном случае имеет вид:
.
Характеристическое уравнение

имеет корни .
Для .
Решением этой системы будут, например, числа
  (здесь выбрано произвольно).
Следовательно,
.
Для .
Решая эту систему, получим
.
Тогда
.

Наконец, для .
Здесь можно положить

и будем иметь
.
Общее решение данной системы дифференциальных уравнений таково: .

Вычисление собственных значений и собственных векторов характеристической матрицы с использованием системы MathServ

Для проведения вычислений следует ввести элементы матрицы в форме :
{{a₁₁,a₁₂,...,a_1n}, {a₂₁,a₂₂,...,a_2n},...,{a_n1,a_n2,...,a_nn}}

       Матрица:  
       

Нахождение корней характеристического уравнения с использованием системы MathServ

Нахождение корней характеристического уравнения :

       Характеристическое уравнение:  
       

Опции представления решения: Символическое и численное решение Только численное решение

Пример 2.

Решить систему
.
Чаще системы дифференциальных уравнений записывают в виде:
.
Составим характеристическое уравнение

и найдем его корни . Так как эти корни комплексные, система уравнений (5) будет иметь комплексные коэффициенты и даст комплексные значения для чисел . В этом случае, учитывая возможность произвольного выбора и , целесообразно сразу положить и записав функцию

или, что то же самое,
,
найти функцию y , используя первое уравнение системы: . Для этого найдем
или
.
Подставляя x и в первое уравнение системы, получим
.
Общим решением системы будет

и
.

Вычисление собственных значений и собственных векторов характеристической матрицы с использованием системы MathServ

Для проведения вычислений следует ввести элементы матрицы в форме :
{{a₁₁,a₁₂,...,a_1n}, {a₂₁,a₂₂,...,a_2n},...,{a_n1,a_n2,...,a_nn}}

       Матрица:  
       

Нахождение корней характеристического уравнения с использованием системы MathServ

Нахождение корней характеристического уравнения :

       Характеристическое уравнение:  
       

Опции представления решения: Символическое и численное решение Только численное решение

Случай кратных корней характеристического уравнения более сложен, и здесь рассматриваться не будет.

Подбор частного решения для системы неоднородных дифференциальных уравнений можно производить, сведя эту систему к одному уравнению высшего порядка и пользуясь известными приемами.

Задачи для самостоятельного решения.