ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература

Лекция 13.1

Теория вероятностей

13.1.7 Примеры вычисления вероятности событий

Пример 1.

В первом ящике находится 10 бракованных и 15 годных деталей, которые тщательно перемешаны. Найти вероятность того, что

a)Извлеченная деталь годная;
b)Три извлеченные детали годные;
c)Из трех извлеченных деталей две годные.

Решение:

В этой задаче имеем дело с конечной схемой равновозможных исходов. Поэтому возможно применение классического определения вероятности

a) .
b) .
c).

Пример 2.

Группа студентов из m человек садится в пригородный электропоезд, насчитывающий вагонов. Каждый из студентов выбирает свой вагон случайно и с одинаковой вероятностью оказывается в любом из вагонов. Какова вероятность того, что все они попадут в разные вагоны?
Решение.
Задача на конечную схему равновозможных исходов. Каждый студент может выбрать один из n вагонов, поэтому число всех возможных комбинаций равно . Благоприятствующие исходы представляют собой размещения m элементов из n, то есть
.
Искомая вероятность определяется формулой
.

Замечание При больших n имеет место асимптотическая формула Стирлинга .

Пример 3.

Из урны, содержащей М белых и N – M черных шаров, наудачу извлекается n шаров. Найти вероятность того, что среди выбранных n шаров окажется ровно m белых.
Решение.
В данной задаче предполагается, что шары хорошо перемешаны, все они одного радиуса, отличаются только цветом и выбирающий шаров не видит. В этом случае разумно воспользоваться конечной схемой равновозможных исходов и применить классическое определение вероятности. За элементарные события естественно принять любые подмножества по n элементов выбранные из множества N шаров. Число таких подмножеств равно .
Каждый набор шаров, входящий в интересующее нас событие (обозначим его А) состоит из двух частей: 1) m – белых шаров и 2) n – m черных шаров. Все такие наборы можно получить следующим образом. Сначала выберем части наборов из белых шаров, число их . Затем отдельно составим части наборов из черных шаров, их число .
Объединение любой части набора из белых шаров с любой частью набора из черных шаров дает полный набор шаров, принадлежащей А, количество которых равно .
По формуле классической вероятности имеем

.

Замечание. В случае предполагается что . Набор чисел называют гипергеометрическим распределением. В теории вероятностей часто математические модели, имеющие приложения в самых различных областях, формулируются в терминах урновых схем. Например, в приложениях к выборочному контролю роль шаров играют N изделий проверяемой партии, число М бракованных изделий – число белых шаров. Рассмотрим это приложение на следующем примере.

Пример 4.

Вычислить вероятность приемки партии изделий, если объем партии равен N, число дефектных изделий в партии М. Для контроля осуществляется выборка n изделий из всей партии. , которая и подвергается проверке на качество. Партия бракуется, когда в выборке обнаружено (с +1) или более дефектных изделий.
Решение.
Естественно предположить, что вероятности извлечения изделий из партии равновероятны и извлеченное изделие безошибочно классифицируется, как годное или брак. Число дефектных изделий х в выборке может рассматриваться, как случайная величина, принимающая значения 0, 1, 2, …, n. Вероятность приемки партии Р(А) будет равна вероятности того, что случайная величина х примет значение меньшее или равное с. Применяя схему урн из предыдущей задачи, имеем

На основании свойств вероятности, вероятность приемки партии

Например, вычислить вероятность приемки партии, если N = 200, М = 26, n = 10, с = 1. По предыдущей формуле находим

Замечание. Возможна следующая ситуация. Пусть N неизвестное число рыб в некотором водоеме. Можно провести отлов М рыб, пометить их и пустить обратно. Проведя повторный отлов в количестве n рыб, в котором окажется m помеченных рыб можно из приближенного равенства это равенство можно обосновать) сделать заключение о величине N: . Эту схему можно использовать в различных прикладных задачах.

Пример 5.

Из колоды в 52 карты выбирается наугад одна. Какова вероятность, что эта карта будет: 1) червонной масти или король треф? 2) червонной масти или один из королей?

Решение.

Введем обозначения: А – событие, означающее, что выбрана карта червонной масти; В – событие, означающее что выбранная карта – король; С – выбранная карта король треф. Вероятности этих событий согласно классического определения, соответственно равны

; ; .

, так как .

Так как , - означает событие: взят король червей, то .

Пример 6.

Некто выбирает наугад 6 клеток «Спортлото» (6 из 49). Найти вероятность того, что он правильно угадает из 6 выигравших номеров : A = {ровно три}; В = {ровно четыре}; С = {ровно пять}; D = {все шесть}.

Решение:

Нетрудно убедиться, что задача по структуре полностью совпадает с задачей 3 (схемой урн), если считать белые шары – выигравшими номерами, а черные – не выигравшими. Полагаем N = 49, M = 6, m последовательно равны: 3, 4, 5, 6. Применяя формулу задачи 3, получим:

.