ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущий пункт | Следующая лекция | Литература

Лекция 13.1

Теория вероятностей

13.1.9 Непрерывное вероятностное пространство. Геометрические вероятности

Рассмотрим эксперимент с бесконечным числом исходов, которые интерпретируются, как выбор наудачу точки из некоторого множества в n - мерном евклидовом пространстве

. Положим

, где G – квадрируемая область n – мерного евклидова пространства. Обозначим А систему квадрируемых подмножеств области G. Из курса анализа известно, что сумма, произведение и разность квадрируемых фигур являются квадрируемыми фигурами. Следовательно А является алгеброй событий.

Пусть - интегрируемая на области G функция и интеграл от нее по области G равен 1.

Вероятностью события А назовем число Р(А) определяемое формулой

(1)

где в правой части находится n кратный интеграл Римана. Используя свойства интегралов, легко проверяется, что функция Р(А) удовлетворяет аксиомам теории вероятностей.

Вместо конечной области G можно рассматривать все n - мерное пространство., а интеграл в этом случае понимать, как несобственный. Функцию Р(А) , определенную на алгебре А, можно продолжить на более широкую систему множеств, содержащую счетные суммы и произведения событий. Построенное вероятностное пространство иногда называют непрерывной вероятностной моделью или непрерывной схемой.

Рассмотрим частный случай общей непрерывной схемы, положив , если и , если .

В этих соотношениях m(G) – мера области G (площадь или объем). При таком выборе функции f(u) формула (1) запишется в следующем виде:

Такое определение вероятности называют геометрическим. Его можно рассматривать, как обобщение классического определения вероятности на случай экспериментов с бесконечным (несчетным) числом исходов.

Пример.

На обслуживающее устройство в промежуток времени [0, T] должны поступить две заявки. Если разность между моментами поступления заявок меньше t, то вторая заявка теряется. Найти вероятность потери заявки.

Решение.

Пусть t₁ и t₂ – моменты поступления заявок. Тогда , А – «заявка будет потеряна», и .

Для нахождения искомой вероятности воспользуемся геометрическим определением. Для чего вычислим площадь квадрата со стороной длины Т (множество возможных исходов), - площадь заштрихованной фигуры (множество исходов, при которых заявка теряется). По формуле находим.

Замечание. Соответствие выбранной модели случайного явления действительности может быть оценено на основе экспериментов.