ODE Lecture 6.1.

Темы | Предыдущая лекция |Следующий пункт | Литература

Лекция 2.4.

Прямая линия в пространстве.

2.4.1 Уравнение прямой линии.

Положение прямой линии в пространстве будет вполне определенно, если зададим на прямой определенную точку M₀ при помощи ее радиус – вектора и вектор , (отличный от нулевого) которому прямая параллельна (рисунок 1).

Рис.1.

Этот вектор назовем направляющим вектором прямой. Переменной точке М прямой линии соответствует ее радиус – вектор и из рисунка 1 получаем:

(1)

Но

параллелен вектору

, поэтому:

где t - числовой множитель, и он может принимать любые значения в зависимости от положения точки М на прямой. Следовательно, равенство (1) можно переписать так:

(2)

Уравнение (2) называется векторным уравнением прямой линии.

От векторного уравнения (2) можно перейти к координатным уравнениям. Обозначим декартовы координаты точки M₀ относительно системы координат с началом в точке О через a, b, c , координаты точки М через x, y, z, и координаты вектора

через m, n, p:

Тогда уравнение (2) в проекциях будет иметь вид:

(3)

Уравнения (3) называются параметрическими уравнениями.

Из уравнений (3), исключая параметр можно получит уравнения вида:

или

(4)

Уравнение (4) называют каноническим уравнением прямой где - направляющий вектор, - точка принадлежит прямой.

Заметим, что в уравнении (4) все знаменатели не могут одновременно обратиться в ноль, так как

. Но некоторые из них могут быть равны нулю. В этом случае уравнение, где знаменатель равен нулю, понимают условно. Пусть, например m = 0,

, тогда:

то есть геометрически это обозначает перпендикулярность прямой к оси ОХ.

Прямую линию можно записать уравнением, представляющем прямую как линию пересечения двух плоскостей. Через каждую прямую проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно, представляют собой уравнение прямой, то есть

(5)

есть уравнение прямой в пространстве. Уравнение (5) называется общим уравнением прямой.

От общих уравнений прямой можно перейти к каноническому уравнению, а затем к параметрическому.

Чтобы от уравнений (5) перейти к уравнению (4) надо найти координаты точки, лежащей на прямой. Координаты точки находятся из системы уравнений (5), где выбирается одна из координат произвольно: z = k. После подстановки значения z в систему (5) находим x и y.

Для отыскания используем то, что и ,то есть перпендикулярен нормалям плоскостей, поэтому:

Пример . Привести к каноническому и параметрическому виду уравнение прямой:

Решение.

1. Пусть - точка, принадлежащая прямой и

a = 2, b = 0, c = 1.

2. Найдем направляющий вектор прямой.

Каноническое уравнение прямой будет:

3. Получим параметрическое уравнение прямой.

,
,
,
- параметрическое уравнение прямой.

Составим уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть точка принадлежит прямой, следовательно,

(6)

Пусть точка также принадлежит прямой, следовательно:

(7)

Сравнивая эти два уравнения, получим

(8)

Это и есть уравнение прямой, проходящей через две данные точки.