5.1.3. Основные теоремы.

Замечание: Обозначение переменной интегрирования в определённом интеграле никакой роли не играет, то есть:
Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция f(x). Зададим произвольное число Теперь определённый интеграл есть некоторая функция от x.

Теорема 1
Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то функция F(x) непрерывна в любой точке .

Если функция интегрируема на некотором отрезке, то она ограничена на нем. (Без доказательства).

Теорема 2
Если интегрируемая на [a, b] функция f(x) непрерывна в точке , то в этой точке существует производная F'(x): F'(x) = f(x) или  .

Используя понятие интеграла, как функции верхнего предела, приведем еще одно доказательство формулы Ньютона - Лейбница:
Так как , то и .
Согласно теореме 2,  F(x) есть первообразная функции f(x) на [a, b]. Если Ф(x) любая другая первообразная f(x), то Ф(x) = F(x) + C. 

То есть .
Теорема 3
При b > a, интеграл от неотрицательной функции есть число неотрицательное.

Так как и (по теореме о среднем) интеграл от неотрицательной функции есть число неотрицательное.

Теорема 4
Неравенство между непрерывными функциями можно интегрировать почленно при условии, что верхний предел больше нижнего.
То есть если b > a и .
Доказательство:

Так как в последнем интеграле подинтегральная функция то

---