Темы | Предыдущая лекция | Следующий пункт | Литература
Лекция 5.4.

Приближенное вычисление определенных интегралов.

5.4.1. Формула трапеций.

Часть интегралов, как уже было сказано, не имеют первообразных в элементарных функциях, поэтому для их нахождения применяют приближенные вычисления.


Рис. 1

Чтобы приближенно вычислить интеграл воспользуемся его геометрическим смыслом. Как известно такой интеграл представляет собой площадь криволинейной трапеции ограниченной линией y = f(x), осью Ox и двумя прямыми x = a и x = b (Рис. 1)
Разобьем отрезок [a, b] на n частей длины h = (b - a)/n  (h - шаг разбиения). x1, x2, ..., xn - абсциссы точек деления, и вычислим значения у1, у2, ..., уn соответствующих ординат кривой по формуле: yi = f(xi), где xi = x0 + ih. (i = 0,1,...,n). 

В результате построения наша криволинейная трапеция разбилась на ряд вертикальных полосок одной и той же ширины h, каждую из которых приближенно можно принять за трапецию. Суммируя площади этих трапеций получим формулу трапеций:

 

Пример:

Вычислить приближенно
Разобьем промежуток интегрирования на 10 частей. (n = 10), следовательно h = 0,1
Абсциссы деления точек деления точек xi и соответствующие им ординаты , запишем в таблице. Причем для удобства в начальной и конечной точках умножим значение на 1/2.
i xi yi
0 0,0 0,5000
1 0,1 1,0050
2 0,2 1,0198
3 0,3 1,0440
4 0,4 1,0770
5 0,5 1,1180
6 0,6 1,1662
7 0,7 1,2207
8 0,8 1,2806
9 0,9 1,3454
10 1,0 0,7071
 

Находим ; 

и по формуле трапеций имеем . 

Точное значение этого же интеграла, полученное по формуле Ньютона-Лейбница 

.