Примеры:

Функция x ⁵ является первообразной для 5 x ⁴ на , т.к. .

есть первообразная для функции на т.к. .

Теорема 2
Если F(x) - первообразная для функции f(x) на (a,b), то F(x)+C - также первообразная, где С - любое число.

Доказательство: Найдем производную (F(x)+C)^I=F(x)^I+C^I,

но C^I= 0, значит .

Теорема 3
Если F₁(x) и F₂(x) - две первообразные для функции f(x) на (a, b), то они на этом промежутке отличаются на постоянную, т.е. F₁(x) - F₂(x)=C.

Доказательство: По условию . Составим функцию Очевидно, что   (согласно следствию из теоремы Лагранжа).

Из данных теорем вытекает что, если F(x) - первообразная для функции f(x) на (a, b) , то любая другая первообразная имеет вид Ф(x)=F(x)+ C. Например, для функции f(x)=3x² первообразной является не только функция x³ , но и x³+1, x³- 4, и т.д.

Примеры: