до (n+1) - го порядка включительно, то существует точка   , такая, что  

(1)

где      

Формула (1) называется формулой Тейлора функции y = f(x)  для точки x₀,

R_n (x) - остаточным членом формулы Тейлора в форме Лагранжа. 

Многочлен

называется многочленом Тейлора функции y = f(x).

При x₀ = 0  приходим к частному случаю формулы (1): 

(2)

где

Формула (2) называется формулой Маклорена функции   y = f(x). 

Сформулируем условие разложимости функции в ряд Тейлора.

Если функция  f(x)  дифференцируема в окрестности точки x₀ любое число раз и в некоторой окрестности этой точки    , то 

(3)

 При x₀ = 0  

(4)

Ряд (3) называется рядом Тейлора, а ряд (4) – рядом Маклорена.

Приведем разложения в степенные ряды некоторых функций:

	(5)
	(6)
	(7)
	(8)
(-1 < x < 1)	(9)

Для каждого случая в скобках указана область, в которой степенной ряд сходится к соответствующей функции. 

Последний ряд, называемый биномиальным, на концах интервала сходимости ведет себя по - разному в зависимости от ; при абсолютно сходится в ; при   -1 < m < 0 расходится в точке x = -1 и условно сходится в точке x = 1 при расходится в точках . 

В общем случае разложение в степенные ряды основано на использовании рядов Тейлора или Маклорена. Но на практике степенные ряды многих функций можно найти формально, используя ряды (5 - 9).

Например, при разложении в степенной ряд функции в формулу (6) вместо подставляем . Тогда:   

Полученный ряд сходится при любых , но следует помнить, что функция не определена при x < 0 . Поэтому найденный ряд сходится к функции только в полуинтервале .

Аналогично можно записать степенные ряды функций  f (x) = e^-2x   и  .

Пример:

Разложить в ряд Маклорена функцию:  

Разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей:

     Поскольку:  

	(10)
	(11)
то:	(12)

Так как ряд (10) сходится при , а ряд (11) при , то ряд (12) сходится к данной функции при

Задачи для самостоятельного решения.