Темы | Предыдущий пункт | Следующая лекция |  Литература
Лекция 11.2.

Степенные ряды

11.2.3. Степенные ряды в приближенных вычислениях

Вычисления значений функции

Пусть дан степенной ряд функции  y = f(x).  Задача вычисления значения этой функции заключается в отыскании суммы ряда при заданном значении аргумента. Ограничиваясь определенным числом членов ряда, находим значение функции с точностью, которую можно устанавливать путем оценивания остатка числового ряда либо остаточного члена Rn(x)  формул Тейлора или Маклорена. 

Пример:

Вычислить ln2 с точностью = 0,0001.

Известно, что степенной ряд  
(1) 

при x = 1 сходится условно. Для того чтобы вычислить ln2 с помощью ряда (1) с точностью = 0,0001 необходимо взять не менее 10000 его членов. Поэтому воспользуемся рядом, который получается в результате вычисления степенных рядов функций ln(1+ x) и ln(1- x)  
(2)

При (2) сходится абсолютно, так как его радиус сходимости R = 1, что легко устанавливается с помощью признака Даламбера. Так как   при x = 1/3 , то, подставив это значение в ряд, получим:

  . 

Для вычисления ln2 с заданной точностью необходимо найти такое число n членов частичной суммы Sn при котором сумма остатка . В нашем случае: 
(3)

Поскольку числа 2n + 3, 2n + 5 больше, чем 2n +  1 то, заменив их на 2n + 1 мы увеличим каждую дробь в формуле (3). Поэтому:

  .

 Путем подбора значений n находим, что для  n = 3   rn<0.00015 и ln2 = 0,6931

 

Вычисление интегралов

Так как степенные ряды сходятся равномерно на любом отрезке, лежащем внутри их интервалов сходимости, то с помощью разложений функций в степенные ряды можно находить неопределенные интегралы в виде степенных рядов и приближенно вычислять соответствующие определенные интегралы. 

Пример:

Вычислить:      с точностью .

В формуле (7) параграфа 7.2.2 заменим x на x2 , получим ряд:

 

Он сходится на всей числовой прямой, поэтому его можно всюду почленно интегрировать. Следовательно,  

так как уже третий член полученного знакочередующегося ряда меньше

 

Приближенное решение дифференциальных уравнений.

В случае, когда точно проинтегрировать дифференциальное уравнение с помощью элементарных функций не удается, его решение удобно искать в виде степенного ряда, например, ряда Тейлора или Маклорена. При решении задачи Коши
(4)

используется ряд Тейлора: 

(5)

где    , а остальные производные y (n)(x0) (n = 2, 3, ...)  находятся путем последовательного дифференцирования уравнения (4) и подстановки начальных данных в выражения для этих производных.

Пример:

Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифференциального уравнения:

, если  y (1) = 1 . 

Из данного уравнения находим, что  y'(1) = 1+1=2.

Дифференцируем исходное уравнение:

 

и т.д. Подставляя найденные значения производных в ряд (5), получаем

Задачи для самостоятельного решения.