Рассмотрим сначала понятие однородной функции двух переменных.
Функция двух переменных называется однородной функцией измерения n, если при любом t справедливо тождество f (tx, ty) = t ⁿ f(x, y) .

Пример

Функция есть однородная функция измерения 2, т.к.
.

С понятием однородной функции связано понятие однородного дифференциального уравнения.

Первое определение

Уравнение    (1)
называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка,
если функции и являются однородными функциями одного и того же измерения.

Для однородного уравнения имеем:
.

Полагая в последних равенствах , получаем .
Откуда
Подставив эти выражения в исходное уравнение, получим

и далее

.

Для разделения переменных введем новую переменную v = y/x или y = vx. Так как в этом случае dy = xdv +vdx, то последнее уравнение принимает вид:

M(1,v)dx + N(1,v)(xdv + vdx) = 0,

или

[M(1,v) + vN(1,v)]dx +xN(1,v)dv = 0.

Последнее уравнение является уравнением с разделяющимися переменными x и v , из него определяется v , а затем искомая функция y = vx.

Второе определение

Если уравнение может приведено к виду: dy/dx = F(x,y) = F(v), где v = y/x, то оно называется однородным дифференциальным уравнением первого порядка.

Для приведения его к уравнению с разделяющимися переменными используется подстановка
v = y/x, отсюда y = vx и dy/dx = xdv/dx + v.
В итоге получается уравнение с разделяющимися переменными: xdv/dx = F(v) - v, которое и интегрируется.

Пример

Решить уравнение (y ² - 3x ²)dx + 2xydy = 0, при начальном условии: y(0) = 0 .

Здесь M(x,y) = (y ² - 3x ²) и N(x,y) = 2xy - однородные функции измерения 2.

Применим подстановку y = vx, при этом dy = xdv +vdx.

Получим: x ²(v ² - 3)dx + 2x ²v(xdv +vdx) = 0.
Сгруппируем слагаемые x ²(v ² - 3)dx + 2x ²v(xdv +vdx) = 0 относительно dx и dv и разделим переменные:

.

После интегрирования получим: x ³(v ² - 1) = C или

общий интеграл: x(y ² - x ²) = C

Используя начальные условия y(0) = 0 имеем 0(0 ² - 0 ²) = C , отсюда C = 0.

Частное решение данного уравнения: x(y ² - x ²) = 0

или

x = y и x = - y