Уравнение , где и - заданные непрерывные функции, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка.

Если функция , стоящая в правой части уравнения, тождественно равна нулю, т.е. ,
то уравнение называется линейным однородным, в противном случае - линейным неоднородным.
Таким образом, - линейное однородное уравнение, а - линейное неоднородное уравнение.
Рассмотрим два метода интегрирования линейных уравнений.

I метод - метод Бернулли

Для решения уравнения применим подстановку y=UV, причем функцию U=U(x) будем считать новой неизвестной функцией, а функцию мы выберем произвольно, подчинив некоторому условию. Так как при этом , то эта подстановка дает:

и
.
Используя произвольный выбор функции V,
подчиним ее условию: .
Разделяя переменные и интегрируя в последнем равенстве, получаем: .
Поэтому исходное уравнение после подстановки полученной функции V(x) имеет вид: .
Это уравнение также является уравнением с разделяющимися переменными.
Решая его, получаем:
,
а после интегрирования
.

Возвращаясь к переменной y=UV имеем общее решение линейного неоднородного уравнения:
.

Пример

Решить уравнение .
Здесь .
Имеем:
- общее решение линейного уравнения.

II метод - метод вариации произвольной постоянной - метод Лагранжа

В линейном однородном уравнении переменные разделяются и его общее решение, которое мы обозначим через Y , легко находится: .
Будем теперь находить общее решение неоднородного линейного уравнения , считая, что общее решение неоднородного уравнения y имеет такую же форму, как и общее решение соответствующего однородного уравнения Y , но где C есть не постоянная величина, а неизвестная функция от x , т.е. считая, что
.
Дифференцируя это выражение

и подставляя в рассматриваемое неоднородное уравнение, получим: или .
Откуда находим функцию C(x) : .
Таким образом,

или
.
Полученное общее решение состоит из двух слагаемых, из которых второе является общим решением соответствующего однородного уравнения, а первое является частным решением неоднородного уравнения, получаемым из общего при .

Пример

Найти общее решение уравнения
.

Интегрируем соответствующее однородное уравнение: .
Считаем C функцией x :
Подставляем в исходное уравнение:
.