Уравнением в полных дифференциалах называется уравнение вида

,

левая часть которого есть полный дифференциал некоторой функции , т.е. .

Переписав исходное уравнение в виде , заключим, что общий интеграл этого уравнения определяется формулой . Как известно, полный дифференциал функции выражается формулой

.

таким образом

.

Необходимое и достаточное условие того, что левая часть уравнения является полным дифференциалом некоторой функции, выражается равенством

.   (#)

Функция , входящая в формулу , находится интегрированием функций P(x,y) и Q(x,y) соответственно по x и y при этом вторая переменная считается величиной постоянной (соответственно y или x).

Пример

Проинтегрировать дифференциальное уравнение

.

Для данного уравнения

.

Так как выполнено условие (#), то данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах, следовательно,

.

Интегрируя первое из этих уравнений ( y при этом считается постоянным), находим

,

где - функция подлежащая определению.

Дифференцируя по y функцию U(x,y) = C и принимая во внимание значение ,
получаем
,
откуда
.
Подставив выражение для

в равенство
,
найдем
.
В соответствии с формулой

получаем

или
,
где
.

Итак, общий интеграл данного уравнения:

Замечание.

Это уравнение является также однородным и его можно проинтегрировать другим способом.