Уравнением Бернулли называется уравнение вида dy/dx + P(x)y = Q(x)y ⁿ.

При n = 0 или n = 1 уравнение становится линейным, методы интегрирования которого рассматривались в предыдущем пункте.

Есть следующие два способа интегрирования этого уравнения.

1. Уравнение приводится к линейному.

Разделив все члены такого уравнения на y ⁿ, получим: y ^-n(dy/dx) + P(x)y ^-n+1 = Q(x).

Сделаем замену: y ^-n+1 = z. Тогда dz/dx = (-n+1)y ^-ndy/dx.

После подстановки этих выражений в уравнение оно примет вид:

dz/dx + (1-n)P(x)z = (1-n)Q(x).

Это линейное уравнение относительно функции z. После его интегрирования возвращаемся к переменной y, подставив вместо z выражение y ^1-n. Получим общий интеграл уравнения Бернулли.

2. Уравнение решается по методу Бернулли с подстановкой y = UV, уже использованному для решения линейных неоднородных уравнений.

Пример

Найти общее решение уравнения
.
Разделив обе части уравнения на y ², получим: .
Введем новую переменную , тогда .
Подставляя в уравнение, получим:

x(dz/dx) - z = -ln(x).

Это линейное уравнение относительно функции z . Применим метод вариации произвольной постоянной:

Интегрируя по частям, находим ,

следовательно , .

Заменяя теперь z на ,
получим: или .
Это и есть общее решение исходного уравнения.