Рассмотрим линейное уравнение n -го порядка
,
где - постоянные.
Уравнение такого вида называется уравнением Коши - Эйлера.
Это уравнение с переменными коэффициентами, но оно легко приводится к уравнению с постоянными коэффициентами с помощью подстановки x = e^t (x > 0).
В самом деле из этого равенства находим:
.
При подстановке всех этих величин в исходное уравнение там произойдет сокращение показательных множителей и мы получим уравнение с постоянными коэффициентами.
Мы рассмотрели подстановку x = e^t считая, что x > 0, а если x < 0, то используется
подстановка x = - e^t.

Пример

Решить уравнение
.
Для x > 0 полагаем x = e ^t . Тогда

или
.

Подставляя все эти выражения в исходное уравнение, получим:
.
Это линейное уравнение с постоянными коэффициентами.
Находим общее решение линейного однородного уравнения: .
Частное решение

находится легко. Следовательно,
.
Возвращаясь к переменной x , получаем:
.
Это общее решение заданного уравнения для x>0.