Рассмотрим линейное неоднородное уравнение n -го порядка

с постоянными коэффициентами .
В этом случае, как и в случае уравнения второго порядка, общее решение представляется как сумма какого-нибудь частного решения линейного неоднородного уравнения и общего решения соответствующего однородного уравнения, т.е. y = Y + y^* .
Частное решение y^* можно всегда найти, используя метод вариации произвольных постоянных. Но мы ограничимся указанием только тех случаев, когда частное решение y^* можно найти, не прибегая к интегрированию.
1. Пусть
,
тогда надо различать два случая:
а) a не является корнем характеристического уравнения.
В этом случае частное решение нужно искать в виде
.
б) a является корнем кратности t характеристического уравнения.
Частное решение y^* в этом случае нужно искать в форме
.
2. Пусть , где M и N - постоянные коэффициенты.
Тогда вид частного решения определяется следующим образом:
а) не является корнем характеристического уравнения,
.
б) корень характеристического уравнения кратности t ,
.
3. Пусть , тогда:
а) не является корнем характеристического уравнения, .
б) является корнем характеристического уравнения кратности t , .

Пример 1.

Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение

имеет корни .
Общее решение линейного однородного уравнения запишется:
.
Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме
.
Дифференцируя

и подставляя в исходное уравнение, получим:
.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x , находим:
.
Следовательно,
,
а общее решение
.