ODE Lecture 6.2.

Темы \| Предыдущий пункт \| Следующий пункт \| Литература

Лекция 6.2. Дифференциальные уравнения высших порядков

6.2.7. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Перейдем теперь к рассмотрению линейных неоднородных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнений вида , где p и q - действительные числа.
Нам уже известно, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляется как сумма какого-нибудь частного решения этого уравнения и общего решения Y соответствующего однородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения ищем в форме квадратного трехчлена. В случае уравнения с постоянными коэффициентами общее решение линейного однородного уравнения, как мы уже знаем, находится легко. Остановимся теперь на проблеме отыскания частного решения y^* линейного неоднородного уравнения.

Метод подбора (метод неопределенных коэффициентов)

Этот метод используется, если функция справа имеет специальный вид:
f(x) = e^ax [ P_m(x) cos(bx) + Q_n(x) sin(bx) ], где a и b - действительные числа,
P_m(x) и Q_n(x) - многочлены с действительными коеффициентами, имеющими соответственно степени m >= 0 и n >= 0.

Вид частного решения неоднородного уравнения зависит от вида правой части этого уравнения и подбирается в каждом случае с учетом корней характеристического многочлена соответствующего однородного уравнения.

Можно показать, что частное решение имеет вид
y^*(x) = x^h e^ax [ P_s(x) cos(bx) + Q_s(x) sin(bx) ],
где a и b - те же числа, что и присутствующие в функции f(x), h >= 0 - кратность корня (a + bi) для характеристичекого многочлена соответствующего однородного уравнения, s = Max(m;n) , P_s(x) и Q_s(x) - многочлены степени s, подлежащие численному определению.

Рассмотрим некоторые частные случаи.

а) .
Если , то частное решение неоднородного уравнения ищем также в форме квадратного трехчлена:
,
где
- неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.

Подставляя эти выражения в исходное уравнение, мы получим тождество
,
откуда

Так как , то из последней системы для коэффициентов получаются определенные числовые значения. Тем самым частное решение y^* будет вполне определено.
Если , то частное решение y^* ищем в виде , когда один из корней характеристического уравнения равен нулю, и в виде
,
когда оба корня характеристического уравнения нули. Аналогично обстоит дело, если f(x) - многочлен P(x) произвольной степени.

Пример

Решить уравнение .
Имеем:
.
Так как p=0, то частное решение данного уравнения ищем в виде
.
Отсюда имеем:
.
Подставляем в исходное уравнение: .
Искомые коэффициенты будут: . Значит, частное решение будет
,
а общее решение получается в виде
.

б) .
Частное решение ищем в виде
,
где A - неопределенный коэффициент.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, после сокращения на e ^bx будем иметь .
Отсюда видно, что если b не является корнем характеристического уравнения, то .
Если b - корень характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде y^* = Axe^bx , когда b - однократный корень, и в виде y^* = P(x) e^bx , когда b - двукратный корень.
Аналогично будет, если f(x) = P(x) e^bx , где P(x) - многочлен.

Пример

Решить уравнение
.
Имеем:
.
Так как в данном уравнении b = 1 - корень кратности два характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде
.
Далее имеем:
.

в) . (a и b не нули одновременно).
В этом случае частное решение y^* ищем также в форме тригонометрического двучлена
,
где A и B - неопределенные коэффициенты.
Отсюда
.
Подставляя эти выражения в исходное уравнение, получим: .

Так как последнее равенство представляет собой тождество, то коэффициенты при и в левой и правой частях этого равенства должны быть соответственно равны друг другу. Поэтому
.
Эти уравнения определяют коэффициенты A и B , кроме случая, когда

(или когда - корни характеристического уравнения).
В последнем случае частное решение исходного уравнения ищем в виде
.

Пример

Решить уравнение .
Имеем:
.
Так как - корни характеристического уравнения, то частное решение данного уравнения ищем в виде
.

Далее имеем: .


Теорема наложения
Рассмотрим так называемую теорему наложения , которая позволяет отыскивать частное решение и в несколько более сложных случаях. Теорема. Если является решением уравнения , а решением уравнения , то + есть решение уравнения . Доказательство. По условию и , поэтому , что и требовалось доказать. Пример Найти общее решение уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Следовательно, . Находим частное решение уравнения в виде , тогда . Отсюда . Следовательно, . Частное решение уравнения ищем в форме . Тогда . Отсюда . Следовательно, . Наконец, находим частное решение уравнения в форме , тогда . Подставляя в уравнение, получим: . Отсюда имеем: . Значит, . Следовательно, . По теореме наложения частное решение исходного уравнения будет: , тогда общее решение запишется так: .


Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа)
Этот метод применяется для отыскания частного решения y^* линейного неоднородного уравнения, когда известно общее решение соответствующего линейного однородного уравнения. Пусть дано линейное неоднородное уравнение второго порядка и пусть общим решением соответствующего однородного уравнения является функция , где y₁ и y₂ - два линейно-независимых решения однородного уравнения. В такой же форме будем искать и частное решение y^* линейного неоднородного уравнения, только и будем считать не произвольными постоянными, а некоторыми, пока неизвестными функциями от x , т.е. будем считать, что . Дифференцируя, получим: . Функции и мы будем считать выбранными так, что . Тогда и . Подставляя теперь в исходное уравнение, получим: . Но и , т.к. и являются решениями однородного уравнения. Следовательно, последнее равенство запишется: . Итак, функция будет удовлетворять заданному уравнению, если функции и удовлетворяют двум условиям: . Имеем систему двух уравнений с двумя неизвестными и . Определитель этой системы , т.к. он является определителем Вронского для линейно независимых функций и . Решая эту систему, мы найдем и как определенные функции от x : . Интегрируя, получим: и . При этих значениях и получим частное решение . Пример Найти общее решение уравнения . Характеристическое уравнение имеет корни . Значит, . Будем искать частное решение в форме . C₁^' (x) и C₂^' (x) находим, решая систему уравнений . Интегрируя, находим: . Следовательно, , а общее решение . Задачи для самостоятельного решения.