Методы решения линейных однородных уравнений второго порядка переносятся и на линейные однородные уравнения любого порядка.
Не останавливаясь на доказательствах, рассмотрим метод решения линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами
.
Общее решение этого уравнения находится следующим образом:
1. Составляем характеристическое уравнение
.
2. Находим корни характеристического уравнения .
3. По характеру корней выписываем частные линейно независимые решения, руководствуясь тем, что:
а) каждому действительному однократному корню k соответствует частное решение e ^kx ;
б) каждому действительному корню k кратности r соответствуют r линейно независимых частных решений
;
в) каждой паре комплексных сопряженных корней и соответствуют два частных решения
и ;
г) каждой паре комплексных сопряженных корней и кратности t соответствуют 2t частных решений:
и .
Этих частных решений будет столько, какова степень характеристического уравнения, т.е. столько, каков порядок данного уравнения.
4.Зная n линейно независимых частных решений , записываем общее решение заданного уравнения: , где - произвольные постоянные.

Пример

Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое уравнение

имеет корни . Общее решение запишется:
.

Замечание
Функции называются линейно зависимыми в некотором интервале, если существуют такие одновременно не равные нулю постоянные , что во всех точках рассматриваемого интервала. Если таких постоянных не существует, то функции называются линейно независимыми . Для двух функций это определение эквивалентно принятому ранее.