Рассмотрим один специальный вид записи уравнения прямой, известной под названием нормального уравнения прямой. Пусть дана какая-нибудь прямая. Проведем через начало координат прямую n, перпендикулярную данной, - мы будем называть ее нормалью, - и обозначим буквой Р точку, в которой она пересекает данную прямую (рис. 1).

Рис. 1.

На нормали введем положительное направление от точки О к точке Р. Обозначим через угол от оси OX до направленной нормали, через р - длину отрезка ОР. Выведем уравнение данной прямой, считая известными числа и р. С этой целью возьмем на прямой произвольную точку М и обозначим через (х, у) ее координаты. Очевидно, проекция отрезка ОМ на нормаль равна ОР, а так как положительное направление нормали совпадает с направлением ОР, то величина этого отрезка выражается положительным числом, именно р:

(1)

Найдем выражение проекции отрезка ОМ на нормаль через координаты точки М. Обозначим через угол наклона отрезка ОМ к нормали, через полярные координаты точки М.

Таким образом:

(2)

Из равенств (1) и (2) следует, что:

или 

(3)

Уравнение прямой, написанное в форме (3) называется нормальным. В этом уравнении обозначает полярный угол нормали, р – расстояние от начала координат до прямой.

Условимся называть отклонением точки М* от данной прямой число +d, если М* лежит по ту сторону от прямой, куда идет положительное направление нормали, и -d, если М* лежит с другой стороны от данной прямой. Отклонение точки от прямой будем обозначать буквой . Таким образом:

Полезно заметить, что, когда точка М* и начало координат лежат по разные стороны от прямой = +d, и, когда точка М* и начало координат лежат по одну сторону от прямой = - d.

Рис. 2

Одной из стандартных задач аналитической геометрии является задача вычисления отклонения точки от прямой.

Эта задача решается следующей теоремой:

Теорема. Если точка М* имеет координаты (х*, у*), а прямая задана нормальным уравнением

то отклонение точки М* от этой прямой задается формулой:

(4)

Покажем, как привести общее уравнение прямой к нормальному виду. Пусть

- общее уравнение прямой, а

(6)

- ее нормальное уравнение. 

Так как уравнения (5) и (6) определяют одну и ту же прямую, то коэффициенты этих уравнений пропорциональны. Умножим все члены уравнения (5) на некоторый множитель:

Для одной и той же прямой будем иметь:

Чтобы найти множитель , возведем первые два из этих равенств в квадрат и сложим; получим:

Отсюда:

(7)

Число , по умножении на которое общее уравнение прямой приобретает нормальный вид, называется нормирующим множителем этого уравнения. Знак нормирующего множителя противоположен знаку свободного члена нормируемого уравнения. Если С = 0 , то знак нормирующего множителя можно выбирать произвольно.