Лекция 2.4.

Прямая линия в пространстве.

2.4.3. Прямая и плоскость.

1. Угол между прямой и плоскостью.

Пусть заданы прямая и плоскость Ax + By + Cz + D = 0 .

Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и ее проекцией на плоскость.

Рис. 1.

Найдем синус угла :

,

где  

(1)

2. Условие параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

Если прямая параллельна плоскости Ax + By + Cz + D = 0 ,то угол между ними равен нулю, следовательно . Из формулы (1) следует:

Am + By + Cz = 0

(2)

Это и есть условие параллельности прямой и плоскости.

Условие перпендикулярности прямой и плоскости совпадает с условием параллельности этой прямой и перпендикуляра к плоскости, то есть:

(3)

3. Пересечение прямой с плоскостью

Пусть заданы уравнения прямой и плоскость:

	(4)
Ax + By + Cz + D = 0	(5)

Координаты точки пересечения прямой и плоскости должны одновременно удовлетворять уравнениям (4) и (5), а поэтому для определения координат точки пересечения нужно совместно решить эти два уравнения.

Запишем уравнение (4) в параметрическом виде:

(6)

Равенства (6) подставим в уравнение (5):

A(mt + a) + B(nt + b) + C(pt + c) = 0.

Отсюда получим t:

.

Подставляя найденное значение t в формулы (6), найдем x, y,z, то есть координаты точки пересечения прямой и плоскости.

Пример . Составить уравнение плоскости, проходящей через прямую и точку М (1, 1, -1).

Задачи для самостоятельного решения.