| Темы | Предыдущий пункт | Следующий пункт | Литература |
|
|
Лекция 13.1 
Теория вероятностей |
|
13.1.4 Аксиомы вероятности Для количественного сравнения между собой событий по степени возможности их появления вводится определенная численная мера, которая называется вероятностью события. Таким образом, вероятность события – численная мера объективной возможности появления этого события. Существуют различные способы введения этой меры. Согласно аксиоматическому подходу, существование такой меры для каждого события постулируется, а свойства определяются совокупностью аксиом:
Последнюю аксиому по индукции можно распространить на n попарно непересекающихся событий:
Эта система аксиом непротиворечива и служит основой элементарной теории вероятностей, изучающей конечные множества событий. При рассмотрении бесконечных множеств она дополняется следующей аксиомой непрерывности: Для убывающей последовательности событий ,
такой, что
и  ,
имеет место соотношение:  .
Вся теория вероятностей строится на этих аксиомах. Критерием их справедливости является степень, с которой теория, построенная на их основе, отражает реальный мир. Задачей теории вероятностей является вычисление вероятности сложных событий, определенным образом связанных с некоторой совокупностью простых событий, вероятности которых заданы. Для теории вероятностей несущественно, как именно определяются вероятности исходной совокупности случайных событий. Следствия из аксиом теории вероятностей: 1. Вероятность события Доказательство:
Так как события А и 2. Вероятность невозможного события равна нулю, то есть:
Доказательство: Так как
3. Если событие А влечет за
собой событие В, то вероятность события
А меньше или равна вероятности события
В, то есть Доказательство: Пусть ,
тогда 
где  .
Согласно аксиоме 3 имеем  ,
но 
(аксиома 1). Отсюда  .
4. Вероятность события А есть число,
заключенное между нулем и единицей, то
есть Доказательство: Из соотношения 5. Если А и В два произвольных
события, которые могут и пересекаться,
то справедливо соотношение Доказательство: Представим объединение событий А и В в виде суммы двух непересекающихся событий А и ,
то есть  ,
с другой стороны  ,
где  .
Согласно аксиоме 3 имеем  .
Из последних равенств получаем  .
Примечание. Аксиомы теории вероятностей были сформулированы в 30 – х годах 20 столетия академиком Андреем Николаевичем Колмогоровым. (1903 – 1987). Замечание. Вероятность, как следует из сказанного выше, рассматривается как функция от случайного события. |
.
.
,
противоположного событию А
вычисляют по формуле:
.
и на основании аксиом 2 и 3
имеем 
,
откуда следует искомое
равенство 
.
,
то на основании следствия 1
имеем: 
.
.
и аксиомы 1 следует
и
,
следовательно
|
|
|
|